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    简单易懂的魔方颜色组合的计算方法

    选择字号: 超大 标准 发布时间:2016年10月21日 | 作者:imofang | 0个评论 | 2710人浏览


    首先,一个三阶魔方一共有几个方块呢?魔方共有三层,一层是9个,3×9=27,但是中间层的中央方块不可见,要排除在外,所以共有26个方块。

    这些方块可以分为三类,角块、棱块和中心块,如图所示:

    blob.png


    下面,我们就来计算一下这26个方块可能形成的组合数究竟有多少。

    1、先看角块可能的组合

    假设魔方的八个顶角是八个箱子,我们把角块从1到8编号,现在要这八个角块放到箱子里,那么,

    第一个箱子可以从8个角块中任意取一个放进去;

    第二个箱子可以从剩余的7个角块中任意取一个放进去;

    。。。

    第八个箱子没得选择,只能把剩余的一个放进去。

    所以,角块可能的组合共有8×7×6×5×4×3×2×1=8! 种。


    2、再看棱块可能的组合

    类似地,假设魔方的十二个棱块是十二个箱子,我们把棱块从1到12编号,现在要把十二个棱块放到箱子里,那么,

    棱块可能的组合共12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=12! 种。


    3、角块和棱块颜色的组合

    根据上面1和2的结果,可以得出,魔方可能的组合数=8!×12! 种,但是且慢,我们好像没有考虑到块的朝向。

    (1)对每个角块来说,它有三种朝向,朝向改变的时候,组合数相应会变化,共有八个角块,所以,朝向的组合有3×3×3×3×3×3×3×3=38;

    (2)对每个棱块来说,它有两种朝向,朝向改变的时候,组合数相应会变化,共十二个棱块,所以,朝向的组合有2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=212;

    那么,26个方块可能的组合就是:(8!×38)×(12!×212 种。


    同时,因为魔方本身转动的限制,必须考虑下面三点:

    (1)7个角块装好之后,第8个角块只有一个方向,而不是三个,所以要除以3。比如下面的魔方,只有图1的情况是正确的,其它情况下魔方不可能还原,因而是不可能存在的。

    blob.png

    (2)11个棱块装好之后,第12个棱块的方向只有一个,而不是二个,所以要除以2;

    (3)一旦装好10个棱块之后,第11、12个棱的位置不能互换,是固定死的所以要除以2。


    那么,最后总组合数就是:

    (8!×3⁸)(12!×2¹²)/(3×2×2)=43252003274489856000,约等于4325亿亿种组合。

    (可能有读者注意到这里的计算没有考虑六个中心块。实际上,中心块是无需考虑的,原因是无论角块和棱块的位置如何变化,六个中心块的相对位置是固定不变的。)


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    标签:魔方知识

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